Banca de DEFESA: MARCONI HELBERT VIEIRA

Uma banca de DEFESA de MESTRADO foi cadastrada pelo programa.
DISCENTE : MARCONI HELBERT VIEIRA
DATA : 29/10/2026
HORA: 14:00
LOCAL: Sala 108.3 CAP-UFSJ
TÍTULO:

A equação diofantina exponencial 7^x-5^y=z^2 e uma proposta de sequência didática para o Ensino Básico

PALAVRAS-CHAVES:

Equações diofantinas exponenciais. Aritmética modular. Teorema de Catalan--Mihăilescu. Sequência didática. Ensino de Matemática.

PÁGINAS: 55
RESUMO:

Esta dissertação investiga equações diofantinas exponenciais sob duas perspectivas complementares: a teórica, com ênfase no Teorema de Catalan--Mihăilescu e no uso de congruências modulares, e a didática, por meio da elaboração e aplicação de uma sequência de atividades voltada ao Ensino Fundamental. No plano teórico, após revisar os fundamentos de aritmética modular --- congruências, propriedades operatórias, cancelamento e sistemas completos de resíduos --- e caracterizar a existência de soluções inteiras para equações diofantinas lineares via máximo divisor comum, apresentamos o Teorema de Catalan--Mihăilescu, segundo o qual a única solução em inteiros positivos de $x^a-y^b=1$, com $a,b>1$, é $3^2-2^3=1$. Como consequência, demonstramos que a equação $7^x-z^2=1$ não admite solução em inteiros positivos e, a partir desse resultado, provamos o teorema principal do trabalho: a equação diofantina $7^x-5^y=z^2$ possui, em inteiros não negativos, a única solução $(x,y,z)=(0,0,0)$. A demonstração combina análise modular em $\mathbb{Z}/4\mathbb{Z}$, $\mathbb{Z}/3\mathbb{Z}$, $\mathbb{Z}/8\mathbb{Z}$ e $\mathbb{Z}/5\mathbb{Z}$ com o Teorema Fundamental da Aritmética aplicado à fatoração de $5^y$ em potências de $5$, evidenciando como restrições aritméticas elementares podem decidir a solubilidade de uma equação exponencial não trivial. No plano didático, foi planejada e aplicada uma sequência de cinco aulas a uma turma do 8º ano do Ensino Fundamental, tendo como questão orientadora a busca de soluções inteiras positivas para equações da forma $a^x=x^n$. As atividades articularam cálculo de potências, construção de tabelas, representação de pontos no plano cartesiano e exploração de interseções de gráficos no GeoGebra, com o objetivo de desenvolver procedimentos investigativos, formular conjecturas e discutir a distinção entre observações numéricas, aproximações e conclusões justificadas. Os resultados indicam que a articulação entre registros numéricos, gráficos e algébricos favorece a compreensão da natureza inteira das soluções e aproxima um tema de pesquisa avançada do cotidiano escolar, sem abrir mão do rigor matemático.

 

MEMBROS DA BANCA:
Presidente - 1701713 - MARCELO OLIVEIRA VELOSO
Interno - 1681260 - MAURICIO REIS E SILVA JUNIOR
Externo à Instituição - ANGELO CALIL BIANCHI - UNIFESP